Taal wordt over het algemeen gezien als heel handig voor mensen. Toch kennen we allemaal wel momenten waarop taal ons in de weg zit. Momenten waarop we iets zeggen wat we eigenlijk niet bedoelen, of momenten waarop we het niet met elkaar eens kunnen worden over de vraag of dezelfde woorden om naar dezelfde dingen verwijzen. Een interessant geval is de rol van taal in de historische ontwikkeling van de wiskunde. Hoe kan taal, dat toch het werkpaard van menselijke communicatie is, de ontwikkelingen van de wiskunde in de weg zitten?

Oude Griekse wiskundigen, zoals Pythagoras, gaven hun werk visueel weer, maar de visuele en taalkundige representaties die ze gebruikten, waren fundamenteel verbonden met de fysieke objecten die ze bestudeerden.

Een van de grote doorbraken in de wiskunde is de ontdekking dat wiskundige objecten, zoals getallen, begrepen kunnen worden zonder dat ze een getal van iets zijn. De oude Griekse meetkundigen werkten vaak met geïdealiseerde vormen zoals cirkels en driehoeken, maar deze objecten zijn wel vaak “echt”, al is het maar in ideale zin. De oude Grieken waren meedogenloos concreet in hun wiskundige redenering. Samen met Egyptische, hindoeïstische en Arabische wiskundigen uit de middeleeuwen gebruikten de Grieken vaak geschreven vormen van wiskundige vergelijkingen, maar gek genoeg werden die vergelijkingen bijna altijd volledig of gedeeltelijk uitgeschreven (zie Kader 1). Hoeveelheden kunnen ook gerepresenteerd en gemanipuleerd worden aan de hand van zogenaamde “letterlijke notatie” (zoals in x + b = a), waarbij de variabelen zowel onbekende als bekende hoeveelheden vertegenwoordigen. De ontwikkeling van het gebruik van deze notatie verliep met horten en stoten, maar werd uiteindelijk wél gerealiseerd. Een wiskundige uitdrukking zoals “een hoeveelheid schapen genomen uit een kudde van onbekende grootte” wordt dan x – a (hierbij worden de eerste letters in het alfabet vaak gebruikt voor bekende variabelen en worden latere letters gebruikt voor onbekende hoeveelheden). Toen we eenmaal vertrouwd raakten met het representeren en manipuleren van getallen als symbolen zonder een link met datgene waar die getallen voor zouden kunnen staan, hadden we geen goede reden meer om wiskundige objecten zoals negatieve getallen of de wortel van -1 af te keuren. Dat zoiets als -1 schaap niet bestaat, is niet erg, omdat die -1 nergens naar hoeft te verwijzen. Later zijn er veel toepassingen gevonden voor deze objecten in de praktijk, ook al lijken de objecten zelf niet meteen aannemelijk. Dit droeg uiteindelijk bij aan de ontwikkeling van bijvoorbeeld calculus, en, misschien niet verrassend, ook aan de ontdekking van oplossingen voor veel openstaande problemen die door de oude Grieken waren achtergelaten.

Dat het zo lang duurde voordat men tot dit inzicht kwam lijkt misschien vreemd, vooral als je bedenkt dat de ontwikkeling van geschreven taal vooral mogelijk was omdat mensen in staat waren abstracte objecten (e.g., bijvoorbeeld het begrip “kat”) te relateren aan relatief concrete vormen (het woord “kat”), en ze hierop voort konden bouwen door het toevoegen van symbolische geschreven vormen die gerelateerd worden aan hetzelfde begrip “kat”. Uit deze voorbeelden blijkt duidelijk dat geschreven taal lang vóór de ontwikkeling van de “letterlijke notatie” al in gebruik was. Geschreven taal was zelfs al duizenden jaren eerder bedacht. Waarom duurde het dan zo lang voordat men hoeveelheden abstract ging representeren, zelfs op het moment dat er niet iets was om te kwantificeren? En waarom duurde het zo lang voordat men die abstractie symbolisch ging weergeven?

Ik vermoed dat taal mensen belemmerde om hoeveelheden in puur symbolische termen te bekijken. Dat heeft er mogelijk mee te maken dat mensen gesproken en geschreven taal intuïtief niet als iets symbolisch opvatten. In de eerste plaats hoeven sprekers zich er niet van bewust te zijn dat hun woord voor “kat” net zo goed gebruikt kan worden om te verwijzen het begrip “kat”, of naar een willekeurig aantal verschillende katten, of dat het woord “hond” net zo goed naar katten zou kunnen verwijzen, zolang iedereen in de taalgroep het daar maar over eens is. De relatie is min of meer volledig transparant voor de spreker, er is geen directe kennis nodig van de abstracties die een rol spelen, en het gemak waarmee sprekers taal gebruiken geeft de taal misschien een soort ‘echtheid’. Ten tweede, toen mensen van nature taal gebruikten om wiskundige relaties uit te drukken, droegen ze de intuïtieve ‘echtheid’ van de relatie tussen woorden en objecten over naar de relatie tussen hoeveelheden in wiskundige uitdrukkingen. Pas nadat ze van taal waren afgestapt, waren de wiskundigen in staat hun neiging naar het reële kwijt te raken en een puur symbolische manier te bedenken om abstracte hoeveelheden weer te geven.

Dit bericht is geschreven door Daniel Sharoh, postdoctoraal onderzoeker bij het Donders Instituut.

Afbeelding:

Een vroege Egyptische manier om getallen weer te geven, gebruikte hiërogliefen, waarbij verschillende objecten bepaalde hoeveelheden aanduiden.